Акции и другие ценные бумаги
Следующий блок, который мы рассмотрим, затрагивает относительно новое понятие ценной бумаги. Что вам нужно знать о ценной бумаге, чтобы решать подобные задания, не вдаваясь в экономические особенности, это то, как она может приносить доход.
Тип 1: когда вы получаете доход от того, что ценная бумага, которую вы купили ранее, растет в цене. Например, сначала ценная бумага стоила 3 000, а через год стала стоить 4 000. Непосредственно этих 4 000 у вас нет, но вы можете продать ценную бумагу за 4 000 и получите больше, чем потратили за год до этого.
Тип 2: когда вы получаете некий процент от прибыли компании за то, что ранее приобрели ценную бумагу этой компании. Если вы являетесь владельцем акции, то доход данного типа вы получаете в форме дивидендов.
Помимо этого дохода вы также можете продать эту ценную бумагу и, если она теперь стоит больше, чем когда вы ее покупали, вы также получите прибыль. Это не все пути получения дохода от ценных бумаг, но других особенностей вам знать не нужно. При необходимости все дополнительные условия будут описаны в самой задаче.
Рассмотрим следующую задачу, в которой как раз фигурирует понятие ценной бумаги.
Задача 3.
Григорий приобрёл ценную бумагу компании за 9000 рублей в начале 2016 года. Компания находится на стадии активного роста, поэтому цена данной бумаги каждый год возрастает на 2000 рублей. В любой момент Григорий может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 12 %. В начале какого года Григорий должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Решение:
Продать бумагу нужно тогда, когда прирост стоимости ценной бумаги станет меньше, чем банковский процент. Пусть это случится в год n.
К этому моменту n к изначальной цене акции 9000 прибавится n раз по 2000, тогда на текущий момент её цена составит:
9000 + 2000n
Чтобы получить прирост, который Григорий получит, если хранить деньги в форме акции, необходимо ежегодный прирост (в данной задаче – 2000 рублей) поделить на накопленную к данному моменту сумму.
Прирост денежной суммы в банке всегда одинаков и равен предложенному проценту, то есть 0,12.
Либо можем составить уравнение, которое объединит все строчки нашей таблицы:
По прошествии четырёх лет Григорий должен продать бумагу, то есть в начале 2020 года.
Ответ: 2020
ЕГЭ №17. Экономическая задача. Вклады
Экономические задачи в основном довольно простые, но дают аж 3 первичных балла!
Но это не совсем 3 балла нахаляву. Эти задачи требуют очень подробного и чёткого описания решения (смотрите наш подробнейший вебинар о том как оформлять задачи профильного ЕГЭ по математике)
По сути, мы составляем математическую модель какой-то жизненной ситуации (например, связанной с банковскими вкладами или кредитами), и важно научиться ничего не пропускать при описании этой модели: описывать словами все введённые обозначения, обосновывать уравнения, которые мы записываем, и всё в таком духе. Если не написать эти объяснения, вы гарантированно получите 0 баллов даже за правильно найденный ответ!
Если не написать эти объяснения, вы гарантированно получите 0 баллов даже за правильно найденный ответ!
На этом уроке мы узнаем, как работают вклады, научимся решать и, главное, правильно оформлять решение таких задач.
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
К ЕГЭ можно подготовиться . У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете.
- У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись».
- Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
- Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.
Если у вас с этим сложности, приходите к нам.
- Прочитайте наш гид о том как бесплатно подготовиться к ЕГЭ по математике.
- Посетите наши бесплатные вебинары по математике, информатике и физике.
Если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы:
- Подготовка к ЕГЭ по математике
- Подготовка к ЕГЭ по информатике
- Подготовка к ЕГЭ по физике
ЕГЭ №17. Экономическая задача на оптимизацию и на производную (“дикая” задача из пробного ЕГЭ)
В 2017 году, придя на экзамен, выпускники облегченно выдохнули: они увидели под 17 номером стандартную задачу на кредиты. Они боялись, что им попадется такая же задача, как на пробном ЕГЭ.
Задача-убийца, которая была чуть ли не сложнее, чем 18-я и 19-я задачи вместе взятые. Кстати, те, кто сдавал в резервный день, халявы уже не получили, им тоже досталась сложная задача.
На ЕГЭ можно ожидать чего угодно, поэтому готовьтесь с нами к самым сложным задачам. Смотрите это видео и вы научитесь решать самую сложную задачу на оптимизацию и подобные ей.
В этом видео вы увидите, что производная нужна даже в экономической задаче №17.
По поводу производной в этой и в других аналогичных задачах. Вы можете подумать, что производная нужна только для задач 7 и 12 и даёт 2 первичных балла на ЕГЭ. Но на самом деле, она даёт намного больше баллов.
Примеры решения задач
Задача 1. В 2019 году клиент планирует открыть вклад в банке 1 ноября сроком на 1 месяц под 11% годовых. Какая сумма денег окажется на счёте вклада 1 декабря того же года, если планируемая сумма вклада равна 100 000 рублей? Ответ округлите до двух знаков после запятой.
Решение: При однократном начислении процентов через дней на вклад под годовых в невисокосный год получим сумму
Воспользуемся этой формулой, считаяS= 100 000, r = 11 , m = 30 (так как в ноябре 30 дней).
Получим:
Число в скобках с точностью до 7 знаков после запятой равно 1,0090411, значит, S=100 904,11Таким образом, на счёте вклада будет 100 904 рубля 11 копеек.
Задача 2. Через сколько полных лет у клиента на счету будет не менее 950 000 рублей, если он намерен открыть вклад 31 декабря и планирует каждый год класть на счет 260 000 рублей при условии, что банк раз в год (начиная со следующего года) 31 декабря будет начислять 10% на имеющуюся сумму?
Решение:
Будем последовательно вычислять сумму на счете и упорядочивать данные с помощью таблицы.
Задача 3. По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает эту сумму на 11% в течение каждого из первых двух лет, а на третий год начисляемые проценты изменяются. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором по истечении трёх лет этот вклад всё ещё будет выгоднее вклада «А».
Решение:
Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма По вкладу «А» сумма каждый год увеличивается на
умножается на коэффициент 1,1.
Тогда по вкладу «А» после первого года сумма станет равна ;
после второго года: 1,21S;
после третьего года: 1,331S.
По вкладу «Б» после первого года сумма станет равна1,11S;
после второго года 1,2321S.
Пусть на третий год по вкладу «Б» банк увеличивает сумму на r%. Тогда после третьего года по вкладу «Б» сумма станет равна
, где r— натуральное число,
коэффициент повышения в третий год.
По условию требуется найти наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А», то есть сумма через три года на вкладе «Б» должна быть больше суммы на вкладе «А». Составим неравенство:
Так как r— натуральное число, то наименьший процент равен 9%.
Задача 4. Сергей планирует приобрести ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год будет возрастать на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей сможет продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Сергей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете стала наибольшей?
Решение.
Во второй год цена ценной бумаги составит: (7+2) тысячи рублей
В третий год (7+2)+2= 7+2∙2 тысячи рублей
В четвертый год (7+2)+2)+2= 7+2∙3 тысячи рублей
.
Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.
10% от цены бумаги на
Ценную бумагу стоит продать тогда, когда 10% от цены бумаги станут больше, чем 2 тысячи рублей.
Получаем неравенство:
Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 8.
Задача 5.
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (t=1; 2; … ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 20%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце тридцатого года сумма на его счёте была наибольшей?
Решение:
Задачи на финансы
17 задание профильного уровня ЕГЭ по математике представляет собой задачу, связанную с финансами, а именно эта задача может быть на проценты, часть долгов и др. Сложность заключается в том, что необходимо рассчитать проценты или часть на длительном промежутке, поэтому данная задача не является прямой аналогией стандартных задач на проценты. Чтобы не говорить об общем, перейдем непосредственно к разбору типовой задачи.
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей.
Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | 1 | 0.6 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
Алгоритм решения:
- Рассматриваем, какова величина выплат по кредиту ежемесячно.
- Определяем долг по каждому месяцу.
- Находим величину требующихся процентов.
- Определяем сумму выплат за весь период.
- Вычисляем процент r суммы выплат долга.
- Записываем ответ.
Решение:
1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.
k; 0,6k; 0,4k; 0,3k; 0,2k; 0,1k.
k — 0.6; 0.6k — 0.4; 0.4k — 0.3; 0.3k — 0.2; 0.2k — 0.1; 0.1k
Второй вариант (из Ященко, №1)
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей.
Алгоритм решения задачи:
- Определяем величину денежного долга.
- Вычисляем сумму задолженности после первого взноса.
- Находим величину долга после второго взноса
- Находим искомый процент.
- Записываем ответ.
Решение:
1. В долг было взято 300 000 рублей. По условию сумма долга, подлежащего возврату увеличивается на r%, а значит в раз. Для выплаты долга необходимо отдать банку 300000∙k.
2. После внесения платежа, равного 160 000 рублей. Остаток долга равняется
руб.
3. На следующий год остаток тоже возрастет в k раз и составит:
Вносимая сумма равна 240 000 рублей:
рублей.
4. Поскольку согласно условию эти выплаты погасят весь долг, получаем квадратное уравнение:
Решаем его, с помощью формул дискриминанта и корней:
5 .Среди полученных корней один отрицательный и условию не удовлетворяет. Получаем:
Таким образом, брать кредит планируется под 20% .
Ответ: 20%.
